Stredná škola
ROLLOVA veta o extréme (17. storočie)
Premenná je veličina ktorá môže nadobúdať rôzne hodnoty. Funkcia (jednej) premennej je množina (dvojíc) x, f(x) taká, ktorá každému x priradí práve jedno f(x). Pritom množina všetkých prvkov x sa nazýva oborom definície funkcie. A množina všetkých f(x) sa nazýva oborom hodnôt funkcie. Ak oborom hodnôt funkcie je napríklad obor reálnych čísel, hovoríme, že funkcia je reálna. Toto priradenie je jednostranné, takže nefunguje opačne. Najvyššia hodnota závislej premennej f(x) je maximom funkcie a najnižšia je jej minimom. Obidve sa nazývajú lokálnymi extrémami funkcie.
Rollova veta patrí do odvetvia matematiky, ktoré sa nazýva diferenciálny počet. Jej význam spočíva v tom, že za istých podmienok zaručuje, že extrém existuje, a to najmenej jeden, a preto má zmysel ho hľadať.
Veta (Michel Rolle): Nech funkcia F v bodoch x1 a x2 definičného oboru a všade medzi nimi je spojitá a zároveň hladká (matematický pojem: derivovateľná). A nech hodnota F v bodoch x1 a x2 je rovnaká, teda f(x1)=f(x2). Vtedy existuje aspoň jeden bod, v ktorom zmena polohy F podľa x je nulová, a ten bod bude extrémom F.
Potom už môžeme ďalšou analýzou zistiť, či extrém je maximom alebo minimom. Alebo môžeme vetu rozvinúť významovo, ako to neskôr urobili Lagrange a Augustin Cauchy.
Dôkaz: Istý druh dôkazu niekedy nazývame, že je self-evident. Napríklad tvrdenie: Celok je rovnako veľký alebo väčší ako ktorákoľvek jeho časť je self-evident. Budeme postupovať tak, že opíšeme všetky možnosti, ktoré môžu nastať, a veta v nich platí. A pretože neexistuje žiadna iná možnosť, tak veta platí.
Predstavme si, že x1 < x2 a funkcia ide z f(x1) do f(x2). Ak ide najkratšou cestou a hodnota F v x1 a x2 je rovnaká, potom vo svojom priebehu F nikdy neprekročí f(x1) a hovoríme, že funkcia je konštantná. A pretože F neprevýši ani nepodlezie f(x1) pre žiadne x, tak f(x1) je maximom aj minimom F. A keďže f(x1) a f(x2) sa rovnajú, je ním aj f(x2) ako aj všetky body medzi nimi.
Nech teda F nie je konštantná. Vtedy F prevýši alebo podlezie f(x1). Ale pretože f(x1) = f(x2), musí F zmeniť svoj priebeh najmenej raz. Pretože funkcia je spojitá na celom intervale medzi x1 a x2, tak bod, v ktorom k tomu dôjde, bude patriť do oboru x a bude jedným kandidátom extrému. A pretože funkcia je zároveň hladká, bude na tomto mieste jej prvá derivácia rovná nule. Čo bolo treba dokázať.
L'HOSPITALOVA veta o limite podielu (17. storočie)
Limita opisuje správanie sa nejakej funkcie, keď sa jej argument približuje k určitej hodnote alebo rastie do nekonečna. Niekedy však limita, ktorú nájdeme normálnym spôsobom, je nedefinovaný výraz 0/0 alebo ∞/∞. Napríklad:
Lim[x→0] Sin(x) / x
Riešenie tohto problému, s ktorým sa dnes stretajú žiaci na stredných školách, prvý raz opísali G. F. A. de L'Hospital a Johann Bernoulli (pôvodné znenie je dochované v ich korešpondencii). Poznám žiaka, ktorý ju spontánne znovuobjavil dva týždne pred tým, než prišla na rad v učebnej osnove, tak že trocha premýšľal o veciach.
Veta: Predstavme si funkciu v tvare podielu f(x) / g(x) ktorej limity čitateľa a menovateľa pre x blížiace sa k A sú:
Lim[x→A] f(x) = 0 a zároveň Lim[x→A] g(x) = 0 alebo
Lim[x→A] g(x) = +/-∞
Vtedy ak existuje limita zmeny f'(x) / g'(x) podľa x, tak limita funkcie f(x) / g(x) tiež existuje, a tieto limity sa rovnajú.
V praxi to vyzerá tak, že limitu, ktorú nevieme nájsť kvôli tomu, že je v hľadanom bode nedefinovaná, hľadáme tak, že riešime jej prvú deriváciu, nájdeme limitu tejto derivácie, a podľa L'Hospitalovej vety tým súčasne nachádzame aj limitu pôvodnej funkcie.
Aby to však platilo, musíme sa predtým presvedčiť o tom, či sú splnené spomenuté podmienky.
Dôkaz: Dokážeme platnosť vety vo v praxi najbežnejšom prípade, kedy A z oboru x je reálne číslo a f(x) a g(x) sú hladké funkcie. (Všeobecný dôkaz bol podaný až oveľa neskôr.)
Začnime teda tým, že máme funkcie f(x) a g(x), ktorých prvé derivácie f'(x) a g'(x) existujú, a g'(x) nie je nulová, a toto nech je tak na nejakom intervale A < x < B oboru definície premennej x.
Keďže na limitu nemá vplyv funkčná hodnota v bode A, nech f(A) = g(A) = 0 a ďalej nech g(B) ≠ 0. To musí byť, pretože inak by podľa Rollovej vety niekde medzi A a B muselo nastať g'(x) = 0, a to nechceme.
Veta hovorí, že máme hľadať nejakú limitu podielu f'(x) / g'(x) pri x blížiacom sa k A:
Lim[x→A] f'(x) / g'(x)
Keďže tá existuje, je to teda f'(A) / g'(A). A pretože prvá derivácia funkcií f(x) a g(x) v bode A je definovaná ako miera zmeny na obore hodnôt funkcií f a g podľa zmeny x na obore definície, dostávame sa k výrazu:
Lim[x→A] (f(x) - f(A)) / (x - A) / Lim[x→A] (g(x) - g(A)) / (x - A)
Vieme pritom, že podiel limít je limitou podielu a že členy podielu sa vzájomne eliminujú, ak jeden je prevrátenou hodnotou druhého. Takže ich vykrátime. Po algebrickej úprave dostávame teda:
Lim[x→A] ((f(x) - f(A)) / (x - A)) * ((x - A) / (g(x) - g(A)))
Lim[x→A] (f(x) - f(A)) /( g(x) - g(A))
A pretože sme povedali, že f(A) = g(A) = 0, dostávame:
Lim[x→A] (f(x) - 0) /( g(x) - 0)
A to je:
Lim[x→A] f(x) / g(x)
Čo bolo treba dokázať.
Ak patríte k čitateľom, ktorých matematika zaujíma, ale nie sú nevyhnutne experti, dávam do pozornosti aj tento populárne zameraný blog na stránkach sme.
