Čo hovoria matematické vety? III.

Autor: Michal Illovský | 2.4.2014 o 15:31 | (upravené 2.4.2014 o 16:21) Karma článku: 5,75 | Prečítané:  947x

Štúdium pravdepodobnosti na výške sa začína kombinatorikou. V 18. storočí sa celá vtedy známa teória pravdepodobnosti zakladala na počítaní možností a rozvíjala sa hlavne v oblasti hazardných hier. Veta, ktorú vyslovil francúzsky astronóm a naturalista Louis Leclerc gróf de Buffon bola prvou, ktorá použila geometriu na riešenie pravdepodobnosti javov, ktoré dovtedy nebolo možné opísať.

BUFFONOVA IHLA

Vykonáme nasledujúci myšlienkový experiment. Predstavme si veľký riadkový papier, kde riadky sú rovnobežné čiary rovnako vzdialené od seba o D milimetrov. Na papier hádžeme ihlu dĺžky L milimetrov, pričom dĺžka ihly je menšia než vzdialenosť medzi riadkami.

Veta: Keď ihla dopadá na papier náhodne, vtedy pravdepodobnosť, že pri dopade pretne riadok, je podiel dvojnásobku dĺžky ihly L a pí-násobku vzdialenosti D.

P = 2*L/(π*D)

Dôkaz: Podľa definície pomyslená ihla musí byť kratšia než vzdialenosť medzi riadkami, teda môže buď padnúť do prázdna alebo pretnúť práve jeden riadok, ale nie viac riadkov. Ihla pretne riadok vtedy a len vtedy, keď vzdialenosť prostriedku ihly od najbližšieho riadku je menšia alebo rovná polovici zvislej dĺžky ihly na papieri. Tá sa prejavuje ako polovica pôvodnej dĺžky ihly L krát sínus uhla dopadu. Pretože ihla dopadá náhodne, môže jej prostriedok dopadnúť medzi ktorékoľvek dva riadky vo vzdialenosti od 0 až po D/2, a súčasne môže zaujať akýkoľvek uhol α od 0 do 360 stupňov. Uhol 180 stupňov je π radiánov a všetky uhly dopadu sú rovnako pravdepodobné. Takže pravdepodobnosť pretnutia riadku pri dopade je strednou hodnotou pravdepodobností pretnutia cez všetky uhly α. Ale pretože dopady v opačných (záporných) uhloch sú identicky pravdepodobné s kladnými uhlami podľa priečnej symetrie kruhu, uvažujeme iba polovicu všetkých uhlov. A preto:

 

prva.gif

 

Čo bolo treba dokázať.

_____________________________________________________________________________

 

NARODENINOVÝ PROBLÉM

Nejaká udalosť sa môže realizovať v niekoľkých rôznych stavoch. Nech Z je počet všetkých stavov, ktoré môžu nastať, a tento počet prvkov množiny Z je konečný. Nech ďalej vieme, že udalosť môže byť iba v niektorom stave A spomedzi Z a v žiadnom inom, pričom nastanie jednej realizácie udalosti súčasne vylúči všetky ostatné (Hovoríme tomu Laplaceova udalosť v priestore Z).

Veta: Pravdepodobnosť, že v skupine n ľudí najmenej dvaja budú mať narodeniny v ten istý deň v roku je približne:

druha.gif

Napríklad pre triedu 25 školákov je to pravdepodobnosť asi 57%. Pre skupinu 50 ľudí, je to už vyše 97%.

Dôkaz: Počet ľudí je n a počet dní v bežnom roku je 365, pričom každý v skupine musí mať narodeniny, a to práve v jeden deň v roku. Takže existuje Z = 365 umocnených na n-tú možností, ako môže skupina n realizovať udalosť A. Počet možností, ktorými môže skupina n realizovať udalosť ne-A (nazvime ju udalosť B), a to že žiadni dvaja ani viacerí nemajú v skupine narodeniny v rovnaký deň, je 365*364*...*(365-n+1). Lebo priradením dní takto ubúda počet dní, ktoré môžu byť ešte unikátne priradené. Takže pravdepodobnosť, že v skupine n ľudí žiadni dvaja ani viacerí nebudú mať narodeniny v rovnaký deň, je pravdepodobnosťou priradenia unikátneho dňa každému človeku v skupine:

tretia.gif

Zatiaľ čo pravdepodobnosť udalosti opačnej, pokrývajúcej všetky ostatné prvky Z, ktoré zostali po udalosti B, bude 1-P(B). Pritom za P(B) máme výraz, ktorý je v rovnici celkom vpravo. Je to súčin všetkých členov v zátvorke, v ktorých za k dosadíme všetky čísla od 1 po n-1.  Táto funkcia bude na obore definície postupovať od 0 do zápornej polosi a bude klesať na obore hodnôt od 1 smerom k nule tak, že jej priebeh vieme napodobniť priebehom exponenciálnej funkcie (hovoríme že ju vieme aproximovať):

Teda 1-P(B) dosadíme za 1+x, pričom využívame že keď x = P(B) pre každé k až po dané n < 365, vtedy 1+x sa v zápornej polosi podobá na exp(x).

Takže dostávame, že 1-k/365 sa zrejme podobá na exp(-k/365). A to znamená, že:

stvrta.gif

A pretože suma postupnosti n-1 prirodzených čísel je n*(n-1)/2, vyplýva z toho veta. Čo bolo treba dokázať.

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Smer má nových podpredsedov, delegáti podporili aj Kaliňáka (minúta po minúte)

Dušan Čaplovič a Pavol Paška končia ako podpredsedovia strany.

DOMOV

Odhalila kauzu predsedníctva. Odkiaľ prišla Zuzana Hlávková?

Gymnázium, ktoré navštevovala, jej plánuje vyjadriť verejnú podporu.

KULTÚRA

Milan Lasica: Už nemôžem umrieť predčasne

Keby som mohol, správal by som sa úplne inak, tvrdí.


Už ste čítali?